相似图形

由 周志高 提交于 周日, 07/10/2022 - 21:38
  • 如果采用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别为 m, n, 那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即 AB:CD = m:n, 或者写成AB/CD = m/n, 其中线段AB, CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把 m/n表示成比值k, 那么AB/CD = k, 或者 AB = k*CD. 两条线段的比实际上就是两个数的比。
  • 四条线段 a, b, c, d 中， 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a:b = c:d， 那么这四条线段 a, b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）。
  • 如果 a/b = c/d = ...... = m/n (b + c + ... + n ≠ 0), 那么(a+c+...+m)/(b+d+ ... + n) = a/b
  • 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
  • 平行于三角形一条边的直线与其它两条边相交，截得的对应线段成比例。
  • 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）。
  • 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）。
  • 三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）。
  • 三角形相似的条件
    • 两角分别相等的两个三角形相似。
    • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
    • 三边相似的两个三角形相似。
  • 相似三角形的性质
    • 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
    • 相似三角形的周长比等于相似比。
    • 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
  • 黄金分割
  • 位似多边形
    • 定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P' 所在的直线都经过同一点 O, 且有 OP' = k* OP (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形（homothetic polygons），点O叫做位似中心（homothetic center）。实际上，k 就是这两个相似多边形的相似比。
    • 性质：在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数 k (k ≠ 0)， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比是 |k|.

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